1. Elektrostatika

Elektrostatika

Hlavní otázka: Jak na sebe působí náboje? A jak toto “působení na dálku” popsat matematicky?

Elektrostatika studuje náboje, které se nehýbají (statika = klid). Je to nejjednodušší případ, ale obsahuje všechny klíčové myšlenky, které se opakují v celé elektromagnetice.

---

Elektrický náboj – co to vlastně je?

Náboj je základní vlastnost hmoty, stejně jako hmotnost. Na rozdíl od hmotnosti ale může být kladný i záporný. Stejné póly se odpuzují, různé přitahují.

Náboj se kvantuje – příroda ho vydává jen v násobcích elementárního náboje $e$:

$q=n\cdot e,e\approx 1,602\times 10^{-19}\text{C}$

Jeden elektron nese náboj $-e$, proton $+e$. Coulomb (C) je obrovská jednotka – v jednom amperu teče $6\times 10^{18}$ elektronů za sekundu.

🔑 Zákon zachování náboje: Náboj nelze vytvořit ani zničit. Pouze přemístit. To vysvětluje, proč se kondenzátor “nabije” – elektrony přejdou z jedné desky na druhou, celkový náboj zůstane nula.

---

Coulombův zákon

Intuice

Vzpomeň na gravitaci: čím větší hmotnost, tím větší síla. Čím větší vzdálenost, tím menší síla (klesá s $r^2$). Coulombův zákon je matematicky totožný, jen místo hmotnosti je náboj – a navíc může být odpudivý.

Vzorec

$\vec{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q_1{q}_2}{r^2}\hat{r}$

Symbol	Veličina	Hodnota / Jednotka
$\vec{F}$	síla na náboj $q_2$	N
$q_1,q_2$	náboje	C (kladná nebo záporná čísla)
$r$	vzdálenost mezi náboji	m
$\hat{r}$	jednotkový vektor z $q_1$ na $q_2$	–
${\epsilon }_0$	permitivita vakua	$8,854\times 10^{-12}\text{F/m}$
$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$	Coulombova konstanta	$\approx 9\times 10^9{\text{Ncdotpm}}^2/{\text{C}}^2$

Konstantu $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ si piš klidně jako $k$ – je to jen číslo, které udává “jak silná” je elektrická síla.

Proč $r^2$ ve jmenovateli?

Síla se šíří do 3D prostoru jako kulová plocha. Plocha koule roste s $r^2$, takže “vliv” jednoho náboje se rozptýlí přes stále větší plochu – proto klesá jako $1/r^2$. Úplně stejný argument platí pro světlo (jas žárovky), gravitaci i pro pole kondenzátoru.

---

Elektrické pole – proč ho zavádíme?

Problém s přímým přístupem

Mám 10 nábojů a chci znát sílu na 11. náboj. Musím počítat 10 vektorů a sčítat je. Co když mám tisíc nábojů? To přestane být praktické.

Řešení: Pole

Místo “síla mezi dvěma konkrétními náboji” zavedeme elektrické pole $\vec{E}$ – popis toho, jaký vliv má soustava nábojů na každý bod v prostoru, bez ohledu na to, co tam je.

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{\vec{F}}{q_{\text{testovacıˊ}}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{r^2}\hat{r}$

Teď stačí znát $\vec{E}$ v každém bodě, a sílu na jakýkoliv náboj $q$ dostanu jako:

$\vec{F}=q\cdot \vec{E}$

Jednotka: V/m = N/C

Superpozice – sčítání polí

Pole od více nábojů prostě sečteš (vektorově). Pro spojité rozložení náboje s hustotou $\rho$ [C/m³]:

$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\vec{r}}^{\prime })}{|\vec{r}-{\vec{r}}^{\prime }{|}^2}\hat{r},d{V}^{\prime }$

Tohle vypadá složitě, ale říká jen: “rozděl náboj na kousky, spočítej příspěvek každého kousku, sečti.”

🎥 Vizualizace polí: 3Blue1Brown – Electric fields – jak vypadají siločáry v praxi.

---

Gaussův zákon – chytřejší způsob výpočtu

Hlavní myšlenka: tok pole

Představ si elektrické pole jako proudění vody. Kolik vody “vyteče” z uzavřené oblasti závisí na tom, kolik zdrojů vody je uvnitř. Náboj je zdroj elektrického pole – čím více náboje uvnitř, tím více pole “vytéká” ven.

Matematicky: tok $\vec{E}$ přes uzavřenou plochu $S$ = celkový náboj uvnitř dělený ${\epsilon }_0$:

${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{uvnitrˇ}}}{{\epsilon }_0}$

Diferenciální tvar – to samé v každém bodě

Gaussova věta (z matematiky) říká, že totéž platí v každém bodě zvlášť:

$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

$\nabla \cdot \vec{E}$ je divergence – měří, “kolik pole vytéká z bodu”. Kde je kladný náboj ($\rho >0$), pole vytéká ven. Kde je záporný, pole vtéká dovnitř.

🎥 3Blue1Brown – Divergence and curl – nejlepší vizualizace divergence. Opravdu se podívej.

Proč je Gaussův zákon užitečný?

Pro symetrická rozložení náboje (koule, válec, rovina) umožňuje spočítat $\vec{E}$ bez integrování z Coulombova zákona:

Příklad – rovnoměrně nabitá koule (poloměr $R$, náboj $Q$):

Vně koule (r > R): Vyber sférickou Gaussovu plochu o poloměru $r$. Symetrie říká, $|\vec{E}|$ je všude na ploše stejné, takže:

$E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}⟹E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

Stejný výsledek jako pro bodový náboj – koule se chová jako bodový náboj!

---

Elektrický potenciál – skaláry jsou jednodušší

Proč zavádíme potenciál?

Elektrické pole $\vec{E}$ je vektor – v každém bodě prostoru má tři složky. Potenciál $\phi$ je skalár – jen jedno číslo. Práce s ním je mnohonásobně jednodušší.

Funguje to proto, že elektrické pole je konzervativní – práce při přesunu náboje nezávisí na cestě, jen na počátečním a koncovém bodu (stejně jako u gravitace). To matematicky znamená:

$\nabla \times \vec{E}=0\text{(v elektrostatice)}$

Potom existuje skalární funkce $\phi$ (potenciál) taková, že:

$\vec{E}=-\nabla \phi$

Gradient ($\nabla \phi$) ukazuje směr nejstrmějšího růstu $\phi$. Znaménko mínus říká: elektrické pole míří z míst vysokého potenciálu (kopec) do míst nízkého (údolí) – jako gravitace táhne dolů po svahu.

Potenciál bodového náboje

$\phi (r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{r}$

Napětí = rozdíl potenciálů:

$U_{AB}={\phi }_A-{\phi }_B=-{\int }_A^B\vec{E}\cdot d\vec{l}$

To je přesně “napětí” z elektrotechniky – rozdíl elektrického potenciálu mezi dvěma body.

Laplaceova a Poissonova rovnice

Dosadíme $\vec{E}=-\nabla \phi$ do Gaussova zákona $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$:

$\nabla \cdot (-\nabla \phi )=\rho /{\epsilon }_0$

$\boxed{{\nabla }^2\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}\text{(Poissonova rovnice)}$

Kde není náboj ($\rho =0$), dostaneme jednodušší Laplaceovu rovnici:

${\nabla }^2\phi =0$

Poissonova rovnice je jedna z nejdůležitějších rovnic fyziky. Vypadá v ní:

• ${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ … Laplaceův operátor
• $\phi$ … hledaná funkce (potenciál)
• $-\rho /{\epsilon }_0$ … “zdroj” (zadaný náboj)

🎥 Khan Academy – Electric potential

---

Kapacitor a energie elektrického pole

Kapacita kondenzátoru:

$C=\frac{Q}{U}$

Energie uložená v kondenzátoru:

$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

Ale kde ta energie fyzicky je? V elektrickém poli! Hustota energie v poli:

$u_E=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\vec{E}{|}^2$

Celková energie je integral přes celý prostor:

$W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\vec{E}{|}^2,dV$

🔑 Klíčová myšlenka: Energie není “v náboji” ani “v deskách kondenzátoru”. Je uložena v poli samotném. To se ukáže jako zásadní, až se budeme bavit o elektromagnetických vlnách – ty nesou energii polem, bez jakéhokoliv drátu.

---

Shrnutí – matematická struktura

Fyzika	Matematika
Náboj je zdroj elektrického pole	$\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$
Elektrické pole (v klidu) je konzervativní	$\nabla \times \vec{E}=0$
Existuje skalární potenciál	$\vec{E}=-\nabla \phi$
Potenciál splňuje	${\nabla }^2\phi =-\rho /{\epsilon }_0$