3. Magnetismus a elektromagnetická indukce

Magnetismus a elektromagnetická indukce

Hlavní myšlenka: Magnetismus není nezávislý jev – je to elektrické pole viděné z jiné rychlosti. Pohybující se náboje vytvářejí magnetické pole, a měnící se magnetické pole vytváří elektrické. Obojí je propojeno.

---

Magnetické pole – základní veličiny

Symbol	Veličina	Jednotka	Poznámka
$\vec{B}$	magnetická indukce	T (Tesla)	Tohle pole “cítí” pohybující se náboj
$\vec{H}$	intenzita mag. pole	A/m	Závisí na materiálu – ve vakuu $\vec{B}={\mu }_0\vec{H}$
${\mu }_0$	permeabilita vakua	$4\pi \times 10^{-7}\text{Tcdotpm/A}$	”Jak ochotně” se vakuum magnetizuje

Ve vakuu platí prostě: $\vec{B}={\mu }_0\vec{H}$

---

Lorentzova síla

Vzorec

$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$

Tohle je kompletní síla, kterou elektromagnetické pole působí na náboj $q$ pohybující se rychlostí $\vec{v}$.

• Elektrická část $q\vec{E}$: působí ve směru pole, nezáleží na pohybu.
• Magnetická část $q\vec{v}\times \vec{B}$: záleží na rychlosti, vždy kolmá na pohyb.

Klíčová vlastnost magnetické síly

Magnetická síla je vždy kolmá na rychlost → nekoná práci (energie se nemění). Znamená to, že magnetické pole samo od sebe náboj nezrychluje ani nezpomaluje – jen ohýbá jeho dráhu.

Výsledkem v homogenním $\vec{B}$ je kruhový pohyb – náboj se točí. Frekvence tohoto otáčení (cyklotronová frekvence):

${\omega }_c=\frac{|q|B}{m}$

Využití: cyklotrony, urychlovače částic, magnetron v mikrovlnce.

🎥 Khan Academy – Lorentz force 🎥 Veritasium – How Magnets Work – magnetismus jako relativistický efekt elektřiny

---

Biot-Savartův zákon

Intuice

Coulombův zákon říká: bodový náboj vytvoří elektrické pole $\propto 1/r^2$. Biot-Savartův zákon říká analogicky: kousek vodiče s proudem vytvoří magnetické pole $\propto 1/r^2$.

Ale je tu rozdíl: výsledkem je vektorový součin – pole je vždy kolmé na proud a na spojnici.

Vzorec

$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\cdot \frac{I,d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$

Celkové pole vodiče: integrujeme přes celý vodič:

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{I,d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$

Výsledky pro typické vodiče

Konfigurace	Vzorec	Kde platí
Přímý vodič	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$	Ve vzdálenosti $r$ od vodiče
Kruhová smyčka (střed)	$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$	Uprostřed smyčky poloměru $R$
Solenoid	$B={\mu }_{0}nI$	Uvnitř ($n$ = závitů na metr)

Solenoid má homogenní pole uvnitř a téměř nulové vně – proto se používá jako “továrna na magnetické pole”.

---

Ampérův zákon

Intuice

Gaussův zákon říkal: tok $\vec{E}$ přes uzavřenou plochu = náboj uvnitř. Ampérův zákon říká analogicky: cirkulace $\vec{B}$ po uzavřené smyčce = proud uvnitř.

Vzorec

${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\text{uvnitrˇ}}$

Diferenciální tvar – pomocí rotace (curl):

$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$

kde $\vec{J}$ [A/m²] je hustota elektrického proudu.

Co je rotace?

Rotace $\nabla \times \vec{F}$ měří, jak moc pole “krouží” kolem bodu – jak silný je “vír”. Proud je zdrojem víru magnetického pole: magnetické siločáry se točí kolem vodiče s proudem.

Kontrast s elektrostatikou:

Pole	Zdroj	Typ zdroje
$\vec{E}$ (statika)	náboj $\rho$	divergence (výtok)
$\vec{B}$	proud $\vec{J}$	rotace (vír)

🎥 3Blue1Brown – Divergence and curl – vizualizace divergence vs. rotace, přesně to, co tu popisujeme.

---

Magnetický monopol neexistuje

$\nabla \cdot \vec{B}=0⟺{\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$

Magnetické pole nemá zdroje ani propady – jeho siločáry jsou vždy uzavřené smyčky. Neexistuje “magnetický náboj” (alespoň ho nikdo nenašel).

Porovnej s elektrostatikou: elektrické siločáry začínají na kladných nábojích a končí na záporných. Magnetické siločáry nemají začátek ani konec – vždy se uzavírají.

---

Faradayův zákon – základ elektrotechniky

Intuice

Změna magnetického pole vytváří elektrické pole. To je princip transformátoru, dynama, elektromotoru, indukčního nabíjení mobilu – a vlastně celé silové elektrotechniky.

Magnetický tok

Nejdřív definujeme magnetický tok přes plochu $S$:

${\Phi }_B={\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{A}$

Jednoduše: kolik “magnetického pole projde” plochou. Větší pole, větší plocha, kolmý úhel → větší tok.

Faradayův zákon

$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$

Změna toku indukuje elektromotorické napětí (EMN) $\mathcal{E}$ ve smyčce.

Diferenciální tvar:

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

Znaménko mínus = Lenzův zákon: Indukovaný proud vytváří vlastní magnetické pole, které se staví proti změně původního toku. Je to zákon zachování energie – kdyby se nestavělo proti, dostali bychom energii zadarmo.

🎥 Veritasium – How electricity actually works – toto video zásadně změní, jak se díváš na vodiče a indukci. 🎥 Faraday’s Law – Khan Academy

---

Vlastní a vzájemná indukčnost

Vlastní indukčnost $L$

Cívka s proudem $I$ vytváří magnetické pole. To pole prostupuje samotnou cívkou a vytváří tok ${\Phi }_B=L\cdot I$. Pokud proud změní, tok se změní, a cívka v sobě indukuje napětí (proto brzdí změny proudu):

$\mathcal{E}=-L\frac{dI}{dt}$

Energie uložená v magnetickém poli cívky:

$W=\frac{1}{2}L{I}^2$

Hustota energie magnetického pole:

$u_B=\frac{|\vec{B}{|}^2}{2{\mu }_0}$

Symetrie s elektrostatikou

Krásná symetrie – elektrické a magnetické pole jsou “rovnocenní partneři”:

Elektrické pole	Magnetické pole
Kapacita $C$	Indukčnost $L$
$W=\frac{1}{2}C{U}^2$	$W=\frac{1}{2}L{I}^2$
Hustota $u_E=\frac{{\epsilon }_0}{2}\Vert \vec{E}{\Vert }^2$	Hustota $u_B=\frac{\Vert \vec{B}{\Vert }^2}{2{\mu }_0}$

---

Maxwellův posuvný proud – klíčový doplněk

Problém s Ampérovým zákonem

Ampérův zákon v původní verzi měl chybu: nefungoval správně pro obvod s kondenzátorem. Mezi deskami kondenzátoru neteče žádný “reálný” proud $\vec{J}$, ale přesto kolem kondenzátoru existuje magnetické pole.

Maxwellovo řešení

Maxwell přidal do rovnice člen posuvného proudu:

$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+\underset{\text{posuvnyˊ proud}}{\underbrace{{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}}$

Posuvný proud říká: měnící se elektrické pole se chová jako proud – vytváří magnetické pole. A Faradayův zákon říká: měnící se magnetické pole vytváří elektrické pole.

🔑 Důsledek – elektromagnetické vlny: Elektrické pole se mění → tím vzniká magnetické pole → to se mění → tím vzniká elektrické pole → … Tato “štafeta” se šíří prostorem jako vlna – elektromagnetická vlna. I bez jakéhokoliv vodiče nebo náboje.