4. Maxwellovy rovnice a elektromagnetické vlny

https://www.youtube.com/watch?v=KHaBmJ_g2VQ&t=3s

Maxwellovy rovnice a elektromagnetické vlny

Hlavní myšlenka: Čtyři rovnice popisují vše o elektromagnetismu. Dohromady předpovídají vlny šířící se rychlostí světla – a tím dokazují, že světlo je elektromagnetická vlna.

---

Maxwellovy rovnice – přehled

Maxwell v 60. letech 19. století sebral dosud samostatné fyzikální poznatky (Gauss, Faraday, Ampère) a doplnil chybějící člen. Výsledek: čtyři rovnice, které kompletně a přesně popisují elektromagnetické pole.

Integrální tvar

\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_\text{uvnitř}}{\varepsilon_0} \tag{I – Gaussův zákon pro E}

\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 \tag{II – Gaussův zákon pro B}

\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \tag{III – Faradayův zákon}

\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \tag{IV – Ampérův–Maxwellův zákon}

Diferenciální tvar

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{I}

\nabla \cdot \vec{B} = 0 \tag{II}

\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \tag{III}

\nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \tag{IV}

Co každá rovnice říká

Č.	Rovnice	Fyzikální obsah	Co to znamená pro tebe
I	$\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$	Náboj je zdrojem $\vec{E}$	Elektrické siločáry vychází z kladných nábojů
II	$\nabla \cdot \vec{B}=0$	Magnetické monopoly neexistují	Mag. siločáry jsou vždy uzavřené smyčky
III	$\nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B}/\partial t$	Měnící se $\vec{B}$ indukuje $\vec{E}$	Základ transformátoru a dynama
IV	$\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$	Proud a měnící se $\vec{E}$ indukují $\vec{B}$	Základ elektromagnetu + posuvný proud

---

Odvození elektromagnetických vln

Postup (krok za krokem)

Budeme pracovat ve vakuu: $\rho =0$, $\vec{J}=\vec{0}$. Rovnice se zjednodušší:

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Krok 1: Aplikuj rotaci ($\nabla \times$) na rovnici III:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \vec{B})$

Krok 2: Pravou stranu nahraď pomocí rovnice IV:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}$

Krok 3: Použij vektorovou identitu $\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=\nabla (\nabla \cdot \vec{E})-{\nabla }^2\vec{E}$. Ve vakuu $\nabla \cdot \vec{E}=0$, takže první člen vypadne:

$\boxed{{\nabla }^2\vec{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}}$

To je vlnová rovnice! Stejně jako vlna na vodě nebo zvuk.

---

Rychlost světla

Obecná vlnová rovnice má tvar ${\nabla }^{2}f=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$. Srovnáním:

$\frac{1}{c^2}={\mu }_0{\epsilon }_0⟹\boxed{c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3\times 10^8\text{m/s}}$

Toto byl Maxwellův převratný objev. Hodnoty ${\mu }_0$ a ${\epsilon }_0$ byly naměřeny v laboratoři z elektrických a magnetických experimentů, nezávisle na světle. A přesto jejich kombinace dává přesně rychlost světla. Závěr byl nevyhnutelný: světlo je elektromagnetická vlna.

To nebylo pouhé šťastné číslo. Maxwell to popsal jako “nejpodivuhodnější shodu, se kterou jsem se ve fyzice setkal.”

🎥 3Blue1Brown – Light as electromagnetic waves – vizualizace odvození přes rovnice 🎥 Veritasium – The greatest theory ever – příběh Maxwellova objevu

---

Rovinná elektromagnetická vlna

Řešení vlnové rovnice pro vlnu šířící se ve směru $z$:

$\vec{E}(z,t)=E_0\cos (kz-\omega t),\hat{x}$ $\vec{B}(z,t)=\frac{E_0}{c}\cos (kz-\omega t),\hat{y}$

Symbol	Veličina	Vztah
$k$	vlnové číslo	$k=2\pi /\lambda$
$\omega$	úhlová frekvence	$\omega =2\pi f$
$c$	rychlost světla	$c=\omega /k=f\lambda$

Klíčové vlastnosti EM vlny:

• $\vec{E}\perp \vec{B}$ – elektrické a magnetické pole jsou navzájem kolmá
• Obě pole jsou kolmá na směr šíření → jde o příčnou vlnu (jako vlna na laně)
• $|\vec{B}|=|\vec{E}|/c$ – magnetické pole je mnohem slabší (v číselné hodnotě)

---

Poyntingův vektor – kam teče energie?

EM vlna nese energii. Kam a kolik?

$\vec{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\vec{E}\times \vec{B}\left[{\text{W/m}}^2\right]$

Poyntingův vektor ukazuje směr toku energie a jeho velikost je výkon na jednotkovou plochu.

Zákon zachování energie (Poyntingova věta):

$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{S}=-\vec{J}\cdot \vec{E}$

Přečteno: “Změna hustoty energie + odtok energie z bodu = ztráty Joulovým teplem.”

🔑 Překvapivý důsledek: Energie v elektrickém obvodu neteče vodičem – teče polem kolem vodiče. Vodič jen naviguje energii z baterie do spotřebiče. Veritasium o tom má skvělé video:

🎥 Veritasium – The Big Misconception About Electricity – jak energie skutečně cestuje obvodem

---

Elektromagnetické spektrum

Všechny druhy záření jsou EM vlny – liší se jen frekvencí:

Typ	Frekvence	Vlnová délka	Kde ho znáš
Rádiové vlny	$<3$ GHz	$>10$ cm	Rádio, WiFi, 5G
Mikrovlny	$3$–$300$ GHz	$1$ mm–$10$ cm	Mikrovlnka, radar
Infračervené	$0,3$–$400$ THz	$0,75$ μm–$1$ mm	Dálkové ovladače, teplo
Viditelné světlo	$430$–$750$ THz	$400$–$700$ nm	Zrak
Ultrafialové	$750$ THz–$30$ PHz	$10$–$400$ nm	Opalování, UV lampy
Rentgenové	$30$ PHz–$30$ EHz	$0,01$–$10$ nm	Rentgen v nemocnici
Gama záření	$>30$ EHz	$<0,01$ nm	Jaderný rozpad

Všechny se šíří rychlostí $c\approx 3\times 10^8$ m/s ve vakuu. Jen kmitají s jinou frekvencí.

---

Symetrie rovnic – matematická krása

Ve vakuu ($\rho =0$, $\vec{J}=0$) mají Maxwellovy rovnice téměř dokonalou symetrii:

$\nabla \cdot \vec{E}=0\nabla \cdot \vec{B}=0$ $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\nabla \times \vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Rovnice jsou téměř symetrické při záměně $\vec{E}\leftrightarrow c\vec{B}$. Symetrii narušuje jen absence magnetických monopolů. Pokud by existovaly, rovnice by byly dokonale symetrické.

---

Pro zvídavé: relativistický tvar

Maxwellovy rovnice lze zapsat ještě kompaktněji pomocí tenzorů (to je věc na VŠ, ale hezky ukazuje matematickou strukturu):

${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}=0$

kde $F^{\mu \nu }$ je elektromagnetický tenzor pole – pole $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou jeho složky. Ve speciální teorii relativity nejsou $\vec{E}$ a $\vec{B}$ nezávislé – jsou to dvě stránky jednoho objektu, a záleží na tom, jak rychle se pohybuje pozorovatel, jak velká je která část.

📖 Feynman Lectures Vol. II – Feynmanovy přednášky jsou volně dostupné a jsou nejlepším intuitivním výkladem EM, jaký existuje. Klidně čti vybrané kapitoly.