03 Viskozita a laminární proudění

Reálné kapaliny a plyny mají viskozitu – vnitřní tření, které brzdí proudění. Tato sekce popisuje chování viskózních tekutin při klidném (laminárním) proudění.

---

Dynamická a kinematická viskozita

$\nu =\frac{\eta }{\rho }$

Symbol	Veličina	Jednotka
$\eta$ (nebo $\mu$)	dynamická viskozita	Pa·s
$\nu$	kinematická viskozita	m²/s
$\rho$	hustota kapaliny	kg/m³

Vysvětlení: Dynamická viskozita $\eta$ vyjadřuje absolutní „lepivost” tekutiny. Kinematická viskozita $\nu$ ji přepočítává na jednotku hustoty – používá se tam, kde je důležitý poměr viskozity a hustoty (např. Reynoldsovo číslo).

Tekutina	$\eta$ (Pa·s) při 20 °C
Vzduch	$1,8\times 10^{-5}$
Voda	$1,0\times 10^{-3}$
Motorový olej	$\approx 0,1$
Med	$\approx 10$

---

Newtonův zákon viskozity

$\tau =\eta \cdot \frac{dv}{dy}$

Symbol	Veličina	Jednotka
$\tau$	tečné napětí mezi vrstvami	Pa
$\eta$	dynamická viskozita	Pa·s
$\frac{dv}{dy}$	gradient rychlosti (změna rychlosti v příčném směru)	s⁻¹

Vysvětlení: Kapalina proudí ve vrstvách. Sousední vrstvy se pohybují různými rychlostmi a vzájemně se brzdí třením. Čím větší je rozdíl rychlostí mezi sousedními vrstvami ($\frac{dv}{dy}$) a čím viskóznější kapalina, tím větší tečné napětí $\tau$ mezi nimi vzniká.

Příklad: Olej klade proudění větší odpor než voda, protože má vyšší $\eta$.

---

Poiseuilleův zákon

$Q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L}$

Symbol	Veličina	Jednotka
$Q$	objemový průtok	m³/s
$r$	poloměr trubice	m
$\Delta p$	tlakový rozdíl na koncích trubice	Pa
$\eta$	dynamická viskozita	Pa·s
$L$	délka trubice	m

Vysvětlení: Průtok viskózní kapaliny trubicí závisí na čtvrtá mocnině poloměru. To má zásadní důsledky:

$Q\propto r^4$

Změna poloměru	Změna průtoku
2× širší trubice	16× větší průtok
2× užší trubice	16× menší průtok
Zúžení o 20 %	průtok klesne na $\approx 41$
Zúžení o 50 %	průtok klesne na $\approx 6$

Platí pouze pro laminární proudění ($Re<2300$).

Příklady:

• Krevní oběh: Zúžení cév (ateroskleróza) dramaticky snižuje průtok krve a zatěžuje srdce.
• Vodovodní potrubí: Delší potrubí (větší $L$) → větší odpor → menší průtok.

Zužující se trubice

Pokud se poloměr trubice mění podél délky jako $r(x)$, trubici rozdělíme na úseky $dx$ a integrujeme:

$\Delta p=\frac{8\eta Q}{\pi }{\int }_0^L\frac{dx}{r(x{)}^4}$

Pro lineárně se zužující trubici (kužel) s poloměry $r_1$ (vstup) a $r_2$ (výstup):

$\Delta p=\frac{8\eta QL}{3\pi }\cdot \frac{r_1^2+r_1{r}_2+r_2^2}{r_1^3\cdot r_2^3}$

---

Stokesův zákon

$F=6\pi \eta rv$

Symbol	Veličina	Jednotka
$F$	odporová síla na kuličce	N
$\eta$	dynamická viskozita kapaliny	Pa·s
$r$	poloměr kuličky	m
$v$	rychlost kuličky	m/s

Vysvětlení: Síla, kterou klade viskózní kapalina odpor malé kuličce pohybující se jejím prostředím. Roste lineárně s rychlostí i poloměrem.

Kulička dosáhne pádové (terminální) rychlosti, když se odporová síla + vztlaková síla vyrovná gravitaci:

$6\pi \eta r{v}_t=\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_{\text{kulicˇka}}-{\rho }_{\text{kapalina}})g$

$v_t=\frac{2r^2({\rho }_{\text{kulicˇka}}-{\rho }_{\text{kapalina}})g}{9\eta }$

Příklady: Déšťová kapka padá konstantní rychlostí. Usazování pevných částic ve vodě.