02 integrační faktor

📖 Zdroj: J. Bouchala, Paul Dawkins

Problém

Máme rovnici: $y^{\prime }+2y=4$

Nelze jen zintegrovat obě strany – překáží člen $2y$.

Klíčová myšlenka – product rule

Platí pravidlo součinu: $(y\cdot n{)}^{\prime }=y^{\prime }\cdot n+y\cdot n^{\prime }$

Pokud bychom levou stranu dokázali zapsat jako derivaci součinu, mohli bychom rovnici integrovat přímo.

Odvození integračního faktoru

Obecná lineární DR 1. řádu: $\frac{dy}{dt}+p(t)\cdot y=g(t)$

Zavedeme integrační faktor $\mu (t)$ a celou rovnici jím vynásobíme:

$\mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)\cdot p(t)\cdot y=\mu (t)\cdot g(t)$

Chceme, aby levá strana byla derivací součinu. To nastane, když:

$\mu (t)\cdot p(t)={\mu }^{\prime }(t)$

Pak: $\mu (t)\frac{dy}{dt}+{\mu }^{\prime }(t)\cdot y=(\mu (t)\cdot y(t){)}^{\prime }$

Jak najít $\mu (t)$?

$p(t)=\frac{{\mu }^{\prime }(t)}{\mu (t)}=(\ln \mu (t){)}^{\prime }$

$\int p(t),dt=\ln \mu (t)\Rightarrow \boxed{\mu (t)=e^{\int p(t),dt}}$

Obecné řešení

$(\mu (t)\cdot y(t){)}^{\prime }=\mu (t)\cdot g(t)$

$\mu (t)\cdot y(t)=\int \mu (t)\cdot g(t),dt+C$

$\boxed{y(t)=\frac{\int \mu (t)\cdot g(t),dt+C}{\mu (t)}}$

kde $\mu (t)=e^{\int p(t),dt}$.

Konkrétní příklad

Rovnice: $y^{\prime }+2y=4$, tedy $p(x)=2$, $q(x)=4$.

Krok 1: Integrační faktor $\mu (x)=e^{\int 2,dx}=e^{2x}$

Krok 2: Vynásobit rovnici $e^{2x}{y}^{\prime }+2e^{2x}y=4e^{2x}$

$(y\cdot e^{2x}{)}^{\prime }=4e^{2x}$

Krok 3: Integrovat obě strany $y\cdot e^{2x}=\int 4e^{2x},dx=2e^{2x}+C$

Výsledek: $\boxed{y=2+C\cdot e^{-2x}}$

Obecný vzorec (shrnutí)

$(y\cdot e^{\int p(x),dx}{)}^{\prime }=q(x)\cdot e^{\int p(x),dx}$

$y=\frac{\int q(x)\cdot e^{\int p(x),dx},dx}{e^{\int p(x),dx}}$

Zdroje

• 🎥 3B1B: Integrating factor visualized
• 📖 Paul’s Notes – Linear Equations