07 populační modely

🎥 Zdroje:

• Population growth – YouTube
• Video 1
• Video 2
• Video 3

---

Základní (exponenciální) model

$\boxed{y(n)=e^{\frac{1}{2}(n-1)}}$

Popis: populace roste exponenciálně, bez omezení.

---

Logistický model (pokročilý)

Realistický model zahrnuje omezení prostředí (kapacita prostředí $K=a/b$):

$\boxed{y^{\prime }(x)=a\cdot y\left(1-\frac{b}{a}y\right)}$

Přepis do standardního tvaru:

$y^{\prime }=ay-b{y}^2$

• Pro malá $y$: roste exponenciálně (člen $ay$ dominuje)
• Pro velká $y$: růst se zpomaluje a zastavuje (člen $-b{y}^2$ dominuje)
• Rovnovážný stav: $y^{\ast }=a/b$

Toto je Bernoulliho DR → viz 04 pokročilé diferenciální rovnice

---

Geometrická intuice

y
│        ___________  ← rovnovážný stav y* = a/b
│      /
│    /
│  /
│/
└──────────────── x (čas)

Logistická křivka (S-křivka / sigmoida).

---

Zdroje

• 🎥 3B1B – Logistic growth
• 📖 Paul’s Notes – Population Models
• 🎥 Veritasium – The logistic map