08 picardova věta o existenci

Stav: Aktuálně rozpracováno (11.2.2026). Toto je místo, kde kurz pokračuje.

---

Intuice

Picardova věta říká, za jakých podmínek existuje a je jednoznačné řešení počáteční úlohy (Cauchyho úlohy):

$y^{\prime }=f(x,y),y(x_0)=y_0$

Neřeší jak rovnici vyřešit, ale zda řešení vůbec existuje.

---

Věta (neformálně)

Pokud je $f(x,y)$ spojitá a má spojnou parciální derivaci $\frac{\partial f}{\partial y}$ v okolí bodu $(x_0,y_0)$, pak existuje $\epsilon >0$ takové, že na intervalu $(x_0-\epsilon ,,x_0+\epsilon )$ existuje právě jedno řešení počáteční úlohy.

---

Picardovy iterace

Konstruktivní důkaz věty – posloupnost aproximací $y_n(x)$:

$y_0(x)=y_0$

$y_{n+1}(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,,y_n(t)),dt$

Tato posloupnost konverguje k řešení.

---

Zdroje

• 📖 Paul’s Notes – Existence & Uniqueness
• 📖 Wikipedia – Picard–Lindelöf theorem
• 🎥 3B1B playlist (obecný kontext)

---

Více lze doplnit v Paul’s Notes – IoV, ale není nutné pro základní kurz.