01 diferenciální rovnice

📖 Přednáška: J. Bouchala, ŠKOMAM 2025

Co je diferenciální rovnice?

Diferenciální rovnice je rovnice, kde hledaná funkce se vyskytuje i se svými derivacemi.

Klasický příklad: známe derivaci funkce, ale neznáme funkci samotnou.

$f^{2} (x) = 2 \Rightarrow f : \pm x^{0} \lor ∣ x ∣$

Pro funkci $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ platí:

$y^{'} = f (x, y)$

Primitivní funkce (neurčitý integrál):

$y^{'} = f (x) \Rightarrow y = \int f (x), d x + C$

$y^{'} = 2 x \Rightarrow y = x^{2} + C$

$y^{'} = 2 x y \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x y \Rightarrow \frac{d y}{y} = 2 x, d x$

$\Rightarrow \int \frac{d y}{y} = \int 2 x, d x \Rightarrow ln ∣ y ∣ = x^{2} + C$

➡️ Pokračování: 03 separace proměnných

Obecný tvar:

$y^{'} + p (x) \cdot y = q (x)$

Nelze jen tak integrovat obě strany – překáží člen $p (x) \cdot y$ . Řešení: integrační faktor → 02 integrační faktor