05 parciální derivace a exaktní rovnice

Co je parciální derivace?

Parciální derivace funkce dvou proměnných $f (x, y)$ je derivace jen podle jedné proměnné – druhou považujeme za konstantu.

$\frac{\partial f}{\partial x} (derivace podle x, y = konstanta)$

$\frac{\partial f}{\partial y} (derivace podle y, x = konstanta)$

Geometrická intuice (kopec) 🏔️

Toto vysvětlení zpracovalo Gemini – skvělá ilustrace principu.

Představ si $Ψ (x, y)$ jako nadmořskou výšku na mapě. Pro každý bod $[x, y]$ ti funkce řekne, jak vysoko jsi.

$\frac{\partial Ψ}{\partial x}$ = M = strmost kopce směrem na východ
$\frac{\partial Ψ}{\partial y}$ = N = strmost kopce směrem na sever

Co říká rovnice $M, d x + N, d y = 0$ ?

Pohybuješ se po kopci, ale nesmíš měnit výšku. Každý krok doprava změní výšku o $M \cdot d x$ , každý krok dopředu o $N \cdot d y$ . Podmínka $M, d x + N, d y = 0$ tedy znamená: zůstaň na stejné výšce.

Proč je řešením $Ψ (x, y) = C$ ?

Pokud se pohybuješ po kopci, ale nesmíš měnit výšku → chodíš po vrstevnici.

Vrstevnice je křivka, kde je výška stálá = konstanta $C$ .

Příklad: Kopec ve tvaru misky: $Ψ (x, y) = x^{2} + y^{2}$

$M = 2 x$ , $N = 2 y$
DR: $2 x, d x + 2 y, d y = 0$
Řešení: $x^{2} + y^{2} = C$ → kružnice (vrstevnice misky ✅)

Řešení exaktní rovnice – příklad

Mějme: $(2 x y - 9 x^{2}) + (2 y + x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Identifikujeme: $M = 2 x y - 9 x^{2} N = 2 y + x^{2} + 1$

Krok 1 – Ověření exaktnosti

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{\partial N}{\partial x} = 2 x ✅ rovnice je exaktn \overset{ı}{ˊ}$

Krok 2 – Integrace $M$ podle $x$

$Ψ (x, y) = \int (2 x y - 9 x^{2}), d x = x^{2} y - 3 x^{3} + g (y)$

⚠️ Místo $+ C$ píšeme $+ g (y)$ , protože integrujeme podle $x$ – $y$ mohlo přispět konstantou.

Krok 3 – Derivace $Ψ$ podle $y$

$\frac{\partial Ψ}{\partial y} = x^{2} + g^{'} (y)$

Krok 4 – Porovnání s $N$

$x^{2} + g^{'} (y) = 2 y + x^{2} + 1$

$g^{'} (y) = 2 y + 1 \Rightarrow g (y) = y^{2} + y$

Výsledek

$C = x^{2} y - 3 x^{3} + y^{2} + y$

Kuchařka (algoritmus)

Krok	Akce
1	Derivuj $M$ podle $y$
2	Derivuj $N$ podle $x$
3	Pokud se rovnají → rovnice je exaktní
4	Integruj $M$ (nebo $N$ ) podle $x$ (resp. $y$ ), $+ C \to + g (y)$
5	Výsledný integrál zderivuj podle $y$
6	Polož rovno $N$ → urči $g^{'} (y)$ → integruj → $g (y)$
7	Dosaď zpět → $Ψ (x, y) = C$

Kryštof Ham - Přednášky a zápisy

Procházet

05 parciální derivace a exaktní rovnice

Co je parciální derivace?

Geometrická intuice (kopec) 🏔️

Co říká rovnice $M, d x + N, d y = 0$ ?

Proč je řešením $Ψ (x, y) = C$ ?

Řešení exaktní rovnice – příklad

Krok 1 – Ověření exaktnosti

Krok 2 – Integrace $M$ podle $x$

Krok 3 – Derivace $Ψ$ podle $y$

Krok 4 – Porovnání s $N$

Výsledek

Kuchařka (algoritmus)

Zdroje

Graf

Obsah

Kryštof Ham - Přednášky a zápisy

Procházet

05 parciální derivace a exaktní rovnice

Co je parciální derivace?

Geometrická intuice (kopec) 🏔️

Co říká rovnice M,dx+N,dy=0?

Proč je řešením Ψ(x,y)=C?

Řešení exaktní rovnice – příklad

Krok 1 – Ověření exaktnosti

Krok 2 – Integrace M podle x

Krok 3 – Derivace Ψ podle y

Krok 4 – Porovnání s N

Výsledek

Kuchařka (algoritmus)

Zdroje

Graf

Obsah

Co říká rovnice $M, d x + N, d y = 0$ ?

Proč je řešením $Ψ (x, y) = C$ ?

Krok 2 – Integrace $M$ podle $x$

Krok 3 – Derivace $Ψ$ podle $y$

Krok 4 – Porovnání s $N$