integraly, vicenasobne, krivkovy, plošný

📚 Vícerozměrné integrály

Znáš základní integrál $\int f (x), d x$ . Tady jdeme do více rozměrů.

Obsah

#	Téma	Stav
1	I01 - Dvojný integrál	✅
2	I02 - Trojný integrál	✅
3	I03 - Křivkový integrál	✅
4	I04 - Plošný integrál	✅
5	I05 - Integrál s kroužkem (Greenova věta)	✅

Shrnutí

Typ integrálu	Geometrický / Fyzikální význam	Matematický zápis	Typické souřadnicové systémy	Klíčové věty a vztahy	Příklad aplikace
Dvojný integrál	Objem pod plochou ( $2 D$ funkce), obsah plochy oblasti $D$	$\iint_{D} f (x, y) d A$	Kartézský $(x, y)$ , Polární $(r, θ)$	Fubiniho věta, Jakobián $r$	Objem vody v jezírku, obsah plochy
Trojný integrál	Hmotnost tělesa s hustotou $ρ$ , objem oblasti v prostoru	$∭_{E} f (x, y, z) d V$	Kartézský, Cylindrický, Sférický	Jakobián $r$ (cyl.) nebo $r^{2} sin ϕ$ (sfér.)	Výpočet objemu koule
Křivkový integrál 1. typu	Délka křivky, hmotnost drátu s proměnnou hustotou	$\int_{C} f d s$	Parametrizace $r (t)$	Integrace skalárního pole podél křivky	Hmotnost drátu, námaha při chůzi do kopce
Křivkový integrál 2. typu	Práce síly $F$ podél dráhy $C$	$\int_{C} F \cdot d r$	Parametrizace $r (t)$	Greenova věta (pro uzavřené křivky)	Práce silového pole podél smyčky
Plošný integrál 1. typu	Hmotnost plochy s proměnnou hustotou	$\iint_{S} f d S$	Parametrizace $r (u, v)$	Jakobián $\	\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$	Hmotnost membrány
Plošný integrál 2. typu	Tok (flux) vektorového pole přes plochu	$\iint_{S} F \cdot d S$	Normálový vektor $n$	Gaussova věta (pro uzavřené plochy)	Tok tekutiny přes membránu
Greenova věta	Vztah mezi cirkulací po hranici a integrálem přes vnitřek ( $2 D$ )	$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$	Kartézské souřadnice	Výpočet plochy: $S = \frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$	Plocha oblasti $D$ pomocí integrálu po hranici
Stokesova věta	Zobecnění Greenovy věty do $3 D$ (hranice vs. plocha)	$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot d S$	Vektorová pole v prostoru	Cirkulace po hranici = plošný integrál rotace	Cirkulace pole podél prostorové křivky
Gaussova věta	Vztah mezi tokem přes uzavřenou plochu a divergencí	$\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{E} (\nabla \cdot F) d V$	Sférické, cylindrické, kartézské	Tok povrchem = integrál divergence přes objem	Výpočet celkového toku pole z objemu

Zdroje