Sférické souřadnice

Základní myšlenka

Místo polohy bodu pomocí $(x, y, z)$ popisujeme bod třemi veličinami:

$x = r sin φ cos θ$ $y = r sin φ sin θ$ $z = r cos φ$

A zpětně:

$r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ $φ = arccos \frac{z}{r}$ $θ = arctan \frac{y}{x}$

Při přechodu do sférických souřadnic se element objemu $d V$ změní:

$d V = d x, d y, d z = r^{2} sin φ d r, d φ, d θ$

Trojný integrál pak vypadá takto:

$∭_{V} f (x, y, z) d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} f (r, φ, θ) \cdot r^{2} sin φ d r, d φ, d θ$

Sférické souřadnice se vyplatí vždy, když se v úloze vyskytuje:

Systém	Souřadnice	Jakobián	Kdy použít
Kartézský	$x, y, z$	$1$	obecné oblasti
Cylindrický	$r, θ, z$	$r$	válce, trubky
Sférický	$r, φ, θ$	$r^{2} sin φ$	koule, kužely

Koule $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ :

$V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} sin φ d r, d φ, d θ$

Integrál podle $r$ :

$\int_{0}^{R} r^{2} d r = \frac{R ^{3}}{3}$

Integrál podle $φ$ :

$\int_{0}^{π} sin φ d φ = [- cos φ]_{0}^{π} = 2$

Integrál podle $θ$ :

$\int_{0}^{2 π} d θ = 2 π$

Celkem:

$V = \frac{R ^{3}}{3} \cdot 2 \cdot 2 π = \frac{4}{3} π R^{3} ✓$