IO1.1 Polární souřadnice

Polární souřadnice pro dvojné integrály

Základní myšlenka

Místo polohy bodu pomocí $(x,y)$ popisujeme bod dvěma veličinami:

• $r$ — vzdálenost od počátku
• $\theta$ — úhel od osy $x$, $\theta \in [0,2\pi ]$

---

Převodní vzorce

$x=r\cos \theta$ $y=r\sin \theta$

A zpětně:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ $\theta =\arctan \frac{y}{x}$

---

Jakobián — nejdůležitější věc!

Při přechodu do polárních souřadnic se element plochy $\mathrm{d}A$ změní:

$\mathrm{d}A=\mathrm{d}x,\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta$

Dvojný integrál pak vypadá takto:

${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R}f(r\cos \theta ,,r\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta$

---

Kdy použít polární souřadnice?

Polární souřadnice se vyplatí vždy, když se v úloze vyskytuje:

• kruh: $x^2+y^2\le R^2$
• mezikruží: $r_1^2\le x^2+y^2\le r_2^2$
• výraz $x^2+y^2$ v integrované funkci
• část kruhu (čtvrtina, polokoule…)

---

Srovnání obou systémů

Systém	Souřadnice	Jakobián	Kdy použít
Kartézský	$x,y$	$1$	obdélníky, trojúhelníky, obecné oblasti
Polární	$r,\theta$	$r$	kruhy, mezikruží, výraz $x^2+y^2$

---

Příklad 1: Obsah kruhu

Kruh $x^2+y^2\le R^2$:

$S={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R}r\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta$

Integrál podle $r$:

${\int }_0^{R}r\mathrm{d}r=\frac{R^2}{2}$

Integrál podle $\theta$:

${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta =2\pi$

Celkem:

$S=\frac{R^2}{2}\cdot 2\pi =\boxed{\pi R^2}✓$

---

Příklad 2: Integrál s $x^2+y^2$

${\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}A,D:x^2+y^2\le 4$

V polárních souřadnicích: $x^2+y^2=r^2$

$={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^2\cdot r\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^3\mathrm{d}r,\mathrm{d}\theta$

Integrál podle $r$:

${\int }_0^2{r}^3\mathrm{d}r={\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^2=4$

Integrál podle $\theta$:

${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta =2\pi$

Celkem:

$=\boxed{8\pi }$

---

Typické meze pro různé oblasti

Oblast	Meze $r$	Meze $\theta$
Celý kruh poloměru $R$	$0$ až $R$	$0$ až $2\pi$
Horní polokoule	$0$ až $R$	$0$ až $\pi$
První kvadrant kruhu	$0$ až $R$	$0$ až $\frac{\pi }{2}$
Mezikruží	$r_1$ až $r_2$	$0$ až $2\pi$

---

Časté chyby

• ❌ Zapomenout na jakobián $r$ — nejčastější chyba!
• ❌ Špatné meze pro $\theta$ (např. $0$ až $2\pi$ místo $0$ až $\pi$ pro polokouli)
• ❌ Použít polární souřadnice na trojúhelník nebo obdélník
• ❌ Nezaměnit $x^2+y^2$ za $r^2$ v integrované funkci