I01 - Dvojný integrál

integraly, dvojny

1. Dvojný integrál

Intuice

Normální integrál $\int f(x),dx$ počítá plochu pod křivkou (1D funkce).

Dvojný integrál $\iint f(x,y),dA$ počítá objem pod plochou (2D funkce).

normální:   ∫  →  plocha pod grafem f(x)
dvojný:    ∬  →  objem pod grafem f(x,y)

Zápis

${\iint }_{D}f(x,y),dA={\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y),dy,dx$

Integruje se zevnitř ven — nejdřív podle $y$, pak podle $x$.

Příklad

${\int }_0^1{\int }_0^2(x+y),dy,dx$

Krok 1 – vnitřní integrál (podle $y$, $x$ = konstanta):

${\int }_0^2(x+y),dy={\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]}_0^2=2x+2$

Krok 2 – vnější integrál (podle $x$):

${\int }_0^1(2x+2),dx={\left[x^2+2x\right]}_0^1=3$

Záměna pořadí integrace

Někdy je jednodušší integrovat nejdřív podle $x$:

${\int }_a^b{\int }_c^{d}f,dy,dx={\int }_c^d{\int }_a^{b}f,dx,dy$

⚠️ Záměna pořadí může změnit meze! Pozor u složitějších oblastí $D$.

Polární souřadnice

IO1.1 Polární souřadnice Pokud oblast $D$ je kruh nebo část kruhu, vyplatí se přejít na polární souřadnice:

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

${\iint }_{D}f(x,y),dA={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\int }_{r_1}^{r_2}f(r\cos \theta ,,r\sin \theta )\cdot r,dr,d\theta$

⚠️ Nesmíš zapomenout na Jakobián $r$ — viz I02 - Trojný integrál.

Slovní úloha: Zahradní jezírko

Zadání

Zahradní jezírko má tvar oblasti $D$ ohraničené křivkami $y=x^2$ a $y=4$.
Hloubka jezírka v bodě $(x,y)$ je dána funkcí $h(x,y)=\sqrt{y}$ [metry].

Určete:

1. Objem vody $V$ v jezírku
2. Obsah plochy $S$ oblasti $D$
3. Průměrnou hloubku jezírka $\bar{h}=\frac{V}{S}$

---

Krok 1: Určení mezí integrace

Oblast $D$ je ohraničena $y=x^2$ (parabola) a $y=4$ (vodorovná přímka).

Průsečíky: $x^2=4⟹x=\pm 2$

Meze integrace:

• $x\in [-2,2]$
• pro každé $x$: $y\in [x^2,4]$

---

Krok 2: Výpočet objemu $V$

$V={\iint }_D\sqrt{y},\mathrm{d}A={\int }_{-2}^2{\int }_{x^2}^4\sqrt{y},\mathrm{d}y,\mathrm{d}x$

Vnitřní integrál (podle $y$):

${\int }_{x^2}^4\sqrt{y},\mathrm{d}y={\left[\frac{2}{3}{y}^{3/2}\right]}_{x^2}^4=\frac{2}{3}\left(4^{3/2}-(x^2{)}^{3/2}\right)=\frac{2}{3}(8-x^3)$

Vnější integrál (podle $x$):

$V={\int }_{-2}^2\frac{2}{3}(8-x^3),\mathrm{d}x=\frac{2}{3}{\left[8x-\frac{x^4}{4}\right]}_{-2}^2$

$=\frac{2}{3}\left[\left(16-4\right)-\left(-16-4\right)\right]=\frac{2}{3}\cdot 24=\boxed{\frac{16}{3}{\text{m}}^3}$

---

Krok 3: Výpočet obsahu plochy $S$

$S={\iint }_D\mathrm{d}A={\int }_{-2}^2(4-x^2),\mathrm{d}x=2{\int }_0^2(4-x^2),\mathrm{d}x$

$=2{\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=2\left(8-\frac{8}{3}\right)=2\cdot \frac{16}{3}=\boxed{\frac{32}{3}{\text{m}}^2}$

---

Krok 4: Průměrná hloubka $\bar{h}$

$\bar{h}=\frac{V}{S}=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{32}{3}}=\frac{16}{32}=\boxed{\frac{1}{2}\text{m}}$

---

Výsledky

Veličina	Hodnota
Objem $V$	$\frac{16}{3}\approx 5,33{\text{m}}^3$
Plocha $S$	$\frac{32}{3}\approx 10,67{\text{m}}^2$
Průměrná hloubka $\bar{h}$	$\frac{1}{2}=0,5\text{m}$

Zdroje

• 🎥 3B1B – Double integrals
• 📖 Paul’s Notes – Double Integrals
• 🎥 Khan Academy – Double integrals