2. Trojný integrál

Intuice

Stejný skok jako od normálního k dvojnému — jen o dimenzi výš.

∫   →  délka / plocha pod křivkou     (1D)
∬   →  objem pod plochou              (2D)
∭   →  "hyperobjem" / hmotnost tělesa (3D)

Nejčastější použití: hmotnost tělesa s hustotou $ρ (x, y, z)$ , nebo prostě objem oblasti v prostoru.

$∭_{E} f (x, y, z), d V = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} f (x, y, z), d z, d y, d x$

Integruje se opět zevnitř ven.

Obdélníkové souřadnice jsou někdy zbytečně složité. Dva alternativní systémy:

více v I02.1 Sférické souřadnice Vhodné pro válce, kužele.

$x = r cos θ, y = r sin θ, z = z$

$∭ f, d V = ∭ f \cdot r, d r, d θ, d z$

Vhodné pro koule a polokoule.

$x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ$

$∭ f, d V = ∭ f \cdot ρ^{2} sin ϕ, d ρ, d ϕ, d θ$

Faktor $r$ (cylindrické) nebo $ρ^{2} sin ϕ$ (sférické) je Jakobián — cena za změnu souřadnic.