3. Křivkový integrál

Intuice

Normální integrál sčítá hodnoty podél přímky (osy $x$ ). Křivkový integrál sčítá hodnoty podél libovolné křivky v rovině nebo prostoru.

Představ si: jdeš po horské stezce a chceš znát celkovou námahu (výšku × vzdálenost). Stezka není přímka — je to křivka. Křivkový integrál to umí.

$\int_{C} f (x, y), d s$

Výsledek: číslo. Typicky délka, hmotnost drátu s proměnnou hustotou.

Parametrizace: křivku $C$ popíšeme jako $r (t) = (x (t), y (t))$ , pak:

$\int_{C} f, d s = \int_{a}^{b} f (x (t), y (t)) \cdot ∣ r^{'} (t) ∣ x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}, d t$

$\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} P, d x + Q, d y$

Výsledek: práce, kterou vykoná síla $F$ podél dráhy $C$ .

$= \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t), d t$