4. Plošný integrál

Intuice

Stejný skok jako křivkový — ale místo křivky integrujeme přes plochu v prostoru.

křivkový:  ∫ podél křivky C       (1D v prostoru)
plošný:    ∬ přes plochu S        (2D v prostoru)

Typické použití: tok tekutiny přes membránu, hmotnost plochy s proměnnou hustotou.

$\iint_{S} f (x, y, z), d S$

Plochu $S$ parametrizujeme jako $r (u, v)$ , pak:

$\iint_{S} f, d S = \iint_{D} f (r (u, v)) \cdot Jakobi \overset{a}{ˊ} n ∣ r_{u} \times r_{v} ∣, d u, d v$

$\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{S} F \cdot n, d S$

kde $n$ je jednotková normála plochy. Výsledek = kolik “tekutiny” proteče plochou $S$ .