I05 - Integrál s kroužkem (Greenova věta)

integraly , greenova-veta , stokesova-veta

Nutnost

5. Integrál s kroužkem – Greenova a Stokesova věta

Co je ten kroužek?

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Kroužek na integrálu značí, že křivka $C$ je uzavřená — začíná a končí ve stejném bodě (smyčka).

Greenova věta (2D)

Propojuje křivkový integrál po uzavřené křivce s dvojným integrálem přes oblast uvnitř.

${\oint }_{C}P,dx+Q,dy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

Intuice: místo počítání podél hranice (křivka) můžeš počítat přes celý vnitřek (plocha) — a naopak. Jsou to dvě tváře téhož čísla.

Tady se znovu objevují parciální derivace — viz 05 parciální derivace a exaktní rovnice v kurzu difek.

Speciální případ – plocha oblasti

$\text{Plocha}(D)={\oint }_{C}x,dy=-{\oint }_{C}y,dx=\frac{1}{2}{\oint }_{C}x,dy-y,dx$

Stokesova věta (3D)

Zobecnění Greenovy věty do prostoru:

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

Křivkový integrál po hranici plochy $S$ = plošný integrál rotace $\mathbf{F}$ přes $S$.

Gaussova věta (divergence theorem)

Zobecnění do objemu:

${\oint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iiint }_E(\nabla \cdot \mathbf{F}),dV$

Dvojitý kroužek $\oint$ = uzavřená plocha (povrch tělesa). Tok přes povrch = divergence uvnitř.

Jak to všechno sedí dohromady

Greenova věta:   ∮  křivka  ←→  ∬  plocha           (2D)
Stokesova věta:  ∮  křivka  ←→  ∬  plocha           (3D)
Gaussova věta:   ∯  plocha  ←→  ∭  objem            (3D)

Jsou to všechno instance jednoho hlubšího principu: integrál přes hranici = integrál derivace přes vnitřek.

Zdroje

• 🎥 3B1B – Green’s theorem ⭐ toto je nutnost
• 🎥 3B1B – Divergence and Curl ⭐
• 🎥 3B1B – Stokes theorem
• 📖 Paul’s Notes – Green’s Theorem
• 📖 Paul’s Notes – Stokes’ Theorem