Taylor series

derivace

Jak aproximovat

Cos x

Víme, že chceme kvadratickou rovnici, takže tvar známe. $\cos (0)=1$ Takže $1+ax+b{x}^2$ Pro $\frac{d}{dx}cos(0)=0\Rightarrow \frac{d}{dx}ax+b{x}^2=0,\Rightarrow a=0$ $1+b{x}^2$ B musí být záporné Přes druhý derivativ, protože $\frac{d^2}{d^{2}x}\cos x=-\cos x$ $\frac{d^2}{d^{2}x}a{x}^2=2a$ $-\cos 0=-1=2a\Rightarrow a=\frac{-1}{2}$ Takže aproximace je $1-\frac{x^2}{2}$ Takhle to jde pořád

$\cos 0$	1
$-\sin 0$	0
$-\cos 0$	-1
$\sin 0$	0
Z toho
$1\frac{x^0}{0!}+0\frac{x}{1!}-1\frac{x^2}{2!}+0\frac{x^3}{3!}+1\frac{x^4}{4!}...$
$f(0)+\frac{df}{dx}(0)\frac{x^1}{1!}+\frac{d{f}^2}{d^{2}x}(0)\frac{x^2}{2!}+\frac{d{f}^3}{d^{3}x}(0)\frac{x^3}{3!}...$

$e^x$ a jeho series okolo 1

Derivace jsou fajn. Vždy je to $e^x$ a víme, že okolo x = 0 je $e^x=1$ $1+1\frac{x^1}{1!}+1\frac{x^2}{2!}+1\frac{x^3}{3!}...$ Z toho $e={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$

tags

taylor_series